增广矩阵: 史上最通俗易懂的讲解！！

1. 形象的讲讲增广矩阵

想象你是一名侦探，正在处理一个案件：

三个嫌疑人(x, y, z)一共偷了100块钱第一个线索：x + y + z = 100（总金额）第二个线索：x + 2y = 60（从监控看到的部分信息）第三个线索：y + 2z = 80（另一个证人提供的信息）

这个系统可以写成方程组：

{

x

+

y

+

z

=

100

x

+

2

y

=

60

y

+

2

z

=

80

\begin{cases} x + y + z = 100 \\ x + 2y = 60 \\ y + 2z = 80 \end{cases}

⎩

⎨

⎧​x+y+z=100x+2y=60y+2z=80​

转换为增广矩阵就是：

(

1

1

1

∣

100

1

2

0

∣

60

0

1

2

∣

80

)

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 100 \\ 1 & 2 & 0 & | & 60 \\ 0 & 1 & 2 & | & 80 \end{pmatrix}

​110​121​102​∣∣∣​1006080​

​

这里的竖线 “|” 就像是一个"案情记录本"：

左边是系数矩阵，记录了各个变量之间的关系右边是常数向量，记录了每个方程的结果竖线把"线索关系"和"实际数值"分开，使得整个问题更清晰

当我们进行高斯消元时，就像是在推理：

每一步操作都保持等式关系不变逐步简化系数，就像是在整理线索最终得到简化的阶梯形式，就能看出每个嫌疑人偷了多少钱

增广矩阵的重要性在于：

它把方程组的所有信息整合在一起提供了一个清晰的计算框架使得解方程的过程更加系统化

用数学语言说，增广矩阵就是：

[

A

∣

b

]

=

(

a

11

a

12

⋯

a

1

n

∣

b

1

a

21

a

22

⋯

a

2

n

∣

b

2

⋮

⋮

⋱

⋮

∣

⋮

a

m

1

a

m

2

⋯

a

m

n

∣

b

m

)

[A|b] = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & | & b_m \end{pmatrix}

[A∣b]=

​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​∣∣∣∣​b1​b2​⋮bm​​

​

这样的表示方法让线性方程组的求解变得更加直观和系统。

2. 形象的讲个增广矩阵的案例

让我用一个餐厅点餐的例子来解释增广矩阵！

假设你是一个餐厅经理，收到了三桌客人的订单，但票据有点混乱。你只知道：

餐厅提供三种套餐：A套餐、B套餐和C套餐每种套餐的单价不同，但你不记得具体价格你手上有三桌客人的点餐记录和他们的付款总额

具体信息如下：

第一桌：点了2个A套餐，1个B套餐，1个C套餐，总付款150元第二桌：点了1个A套餐，2个B套餐，1个C套餐，总付款140元第三桌：点了1个A套餐，1个B套餐，2个C套餐，总付款130元

这可以写成方程组：

{

2

x

+

y

+

z

=

150

x

+

2

y

+

z

=

140

x

+

y

+

2

z

=

130

\begin{cases} 2x + y + z = 150 \\ x + 2y + z = 140 \\ x + y + 2z = 130 \end{cases}

⎩

⎨

⎧​2x+y+z=150x+2y+z=140x+y+2z=130​

其中：

x 表示A套餐的价格y 表示B套餐的价格z 表示C套餐的价格

转换成增广矩阵就是：

(

2

1

1

∣

150

1

2

1

∣

140

1

1

2

∣

130

)

\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 150 \\ 1 & 2 & 1 & | & 140 \\ 1 & 1 & 2 & | & 130 \end{pmatrix}

​211​121​112​∣∣∣​150140130​

​

这个增广矩阵就像一张整理好的账单表：

左边的数字表示各桌点的不同套餐数量竖线右边的数字表示各桌的实际付款金额通过解这个矩阵，我们就能算出每种套餐的具体价格

通过高斯消元法求解：

(

2

1

1

∣

150

1

2

1

∣

140

1

1

2

∣

130

)

→

(

1

0

0

∣

50

0

1

0

∣

40

0

0

1

∣

30

)

\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 150 \\ 1 & 2 & 1 & | & 140 \\ 1 & 1 & 2 & | & 130 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 50 \\ 0 & 1 & 0 & | & 40 \\ 0 & 0 & 1 & | & 30 \end{pmatrix}

​211​121​112​∣∣∣​150140130​

​→

​100​010​001​∣∣∣​504030​

​

最终解得：

A套餐：50元B套餐：40元C套餐：30元

这就像是通过整理账单，最终找出了每种套餐的真实价格！

这个例子展示了增广矩阵的实际应用：

它帮我们把混乱的信息整理成有序的形式通过简单的矩阵运算就能解决复杂的实际问题最终得到一个清晰的答案

3. 形象讲讲增广矩阵 的应用场景

让我用几个生动的场景来解释增广矩阵的应用！

1. 配料优化（食品工业）

假设你是一个奶茶店的研发师：

需要调配三种新口味奶茶每种奶茶都需要不同配比的茶底、奶精和糖浆还要满足特定的成本和营养需求

这可以写成增广矩阵：

(

a

11

a

12

a

13

∣

b

1

a

21

a

22

a

23

∣

b

2

a

31

a

32

a

33

∣

b

3

)

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & b_3 \end{pmatrix}

​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣​b1​b2​b3​​

​ 其中：

左边矩阵表示各原料的配比系数右边向量表示目标值（如成本限制、糖分要求等）

2. 投资组合（金融领域）

想象你是理财顾问：

客户要投资三种基金需要满足预期收益率要控制风险水平还要考虑投资预算

用增广矩阵表示：

(

r

1

r

2

r

3

∣

R

t

a

r

g

e

t

σ

1

σ

2

σ

3

∣

σ

m

a

x

1

1

1

∣

T

o

t

a

l

)

\begin{pmatrix} r_1 & r_2 & r_3 & | & R_{target} \\ σ_1 & σ_2 & σ_3 & | & σ_{max} \\ 1 & 1 & 1 & | & Total \end{pmatrix}

​r1​σ1​1​r2​σ2​1​r3​σ3​1​∣∣∣​Rtarget​σmax​Total​

​ 其中：

r

i

r_i

ri​ 是各基金收益率

σ

i

σ_i

σi​ 是风险系数右边是目标值

3. 交通流量规划（城市规划）

设想你在规划一个十字路口：

三个方向的车流量红绿灯配时要满足等待时间要求

增广矩阵形式：

(

f

1

t

1

w

1

∣

T

1

f

2

t

2

w

2

∣

T

2

f

3

t

3

w

3

∣

T

3

)

\begin{pmatrix} f_1 & t_1 & w_1 & | & T_1 \\ f_2 & t_2 & w_2 & | & T_2 \\ f_3 & t_3 & w_3 & | & T_3 \end{pmatrix}

​f1​f2​f3​​t1​t2​t3​​w1​w2​w3​​∣∣∣​T1​T2​T3​​

​ 这里：

f

i

f_i

fi​ 表示流量系数

t

i

t_i

ti​ 表示通行时间

w

i

w_i

wi​ 表示等待系数右边是目标通行效率

4. 营养配餐（医疗保健）

医院营养师的工作：

需要搭配三餐控制热量、蛋白质、脂肪等满足病人营养需求

表示为：

(

c

a

l

1

c

a

l

2

c

a

l

3

∣

C

a

l

t

o

t

a

l

p

r

o

1

p

r

o

2

p

r

o

3

∣

P

r

o

n

e

e

d

f

a

t

1

f

a

t

2

f

a

t

3

∣

F

a

t

l

i

m

i

t

)

\begin{pmatrix} cal_1 & cal_2 & cal_3 & | & Cal_{total} \\ pro_1 & pro_2 & pro_3 & | & Pro_{need} \\ fat_1 & fat_2 & fat_3 & | & Fat_{limit} \end{pmatrix}

​cal1​pro1​fat1​​cal2​pro2​fat2​​cal3​pro3​fat3​​∣∣∣​Caltotal​Proneed​Fatlimit​​

​

5. 化学配比（实验室）

化学实验中：

配制特定浓度的溶液混合多种化学物质需要满足化学计量比

(

m

11

m

12

m

13

∣

M

1

c

21

c

22

c

23

∣

C

2

v

31

v

32

v

33

∣

V

3

)

\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} & | & M_1 \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & | & C_2 \\ v_{31} & v_{32} & v_{33} & | & V_3 \end{pmatrix}

​m11​c21​v31​​m12​c22​v32​​m13​c23​v33​​∣∣∣​M1​C2​V3​​

​

这些例子展示了增广矩阵在实际中的广泛应用：

它能把复杂的约束条件整理成清晰的数学形式提供了统一的求解方法帮助我们找到满足多个条件的最优解

无论是商业决策、工程设计还是科学研究，增广矩阵都是一个强大的数学工具！